微积分(二)

写在前面

• 在上次的文章中, 大致的对微积分的思路与过程做了个介绍, 这次我们将进行更加深入的讨论.

关于d

• 如图, 在汽车行驶速度的讨论中( 为汽车行驶时间与距离的关系函数 ), 我们将速度定义成 . 则小车在当前点的行驶速度为 . 当dt的值非常小时, 我们近似的将其看做为这个点的切线. 而速度则是此切线的斜率.
• 在微积分里, 我们都会采用这种思路来分析解决问题, 这里的dt是个非常微小的值, 却又是真实存在, 且不为零的.
• 在微积分里, 用d表示一个变量趋近于零.

一个简单的求导过程

• 如图, 我们假设现在要求小车在2秒的速度 .
• 已知 .
• 则 为第2秒到 秒的距离差, 为时间上的变化, 极为微小.
• 得出:
  
          
          
          
          
• 当dt逼近于零, 非常小的时候, 可以忽略后面的 .
• 则可得出最后的结果 . 当然这个结果是有规律可循的, 这个我们接下来慢慢讲.
• 这个结果不仅仅对 有效, 同样的, 对整个 都有效.
• 得出结果 .

0秒时的速度

• 通过对上一题图中的观察, 我们详细观察在 ~ ( ) 秒间车轮的动态, 也就是 .
• 可以发现, 在 ~ ( )之间, 车轮发生的位移非常小. 以至于 最终导致 .
• 注意, 这里是近似为零, 由于这段时间行驶的距离非常小, 我们近似的将其作为零来处理.

写在最后

• 这个章节以小车的距离/时间曲线为例, 详细的讲解了对函数求解的思路与方法.
• 下一小节, 我们将会用图例的方式来对一些常用的求导公式进行讲解.