微积分(二)

写在前面

• 在上次的文章中, 大致的对微积分的思路与过程做了个介绍, 这次我们将进行更加深入的讨论.

关于d

• 如图, 在汽车行驶速度的讨论中($s(t)$ 为汽车行驶时间与距离的关系函数 ), 我们将速度定义成 $v = \frac{s}{t}$. 则小车在当前点的行驶速度为 $\frac{ds}{dt} = \frac{s(t + dt) - s(t)}{dt}$. 当dt的值非常小时, 我们近似的将其看做为这个点的切线. 而速度则是此切线的斜率.
• 在微积分里, 我们都会采用这种思路来分析解决问题, 这里的dt是个非常微小的值, 却又是真实存在, 且不为零的.
• 在微积分里, 用d表示一个变量趋近于零.

一个简单的求导过程

• 如图, 我们假设现在要求小车在2秒的速度 $\frac{ds}{dt}$.
• 已知 $s(t) = t^3$.
• 则 $s(2 + dt)$ 为第2秒到 $(2 + dt)$ 秒的距离差, $dt$ 为时间上的变化, 极为微小.
• 得出:
  $\frac{ds}{dt}(2) = \frac{s(2 + dt) - s(2)}{dt}$
          $= \frac{(2 + dt)^3 - (2)^3}{dt}$
          $= \frac{2^3 + 3(2)^2dt + 3(2)dt^2 + (dt)^3 - 2^3}{dt}$
          $= \frac{3(2)^2dt + 3(2)(dt)^2 + (dt)^3}{dt}$
          $= 3(2)^2 + 3(2)(dt) + (dt)^2$
• 当dt逼近于零, 非常小的时候, 可以忽略后面的 $3(2)(dt) + (dt)^2$.
• 则可得出最后的结果 $\frac{ds}{dt}(2) = 3(2)^2$. 当然这个结果是有规律可循的, 这个我们接下来慢慢讲.
• 这个结果不仅仅对 $\frac{ds}{dt}(2)$ 有效, 同样的, 对整个 $s(t)$ 都有效.
• 得出结果 $\frac{ds}{dt} (t)= 3{t}^2$.

0秒时的速度

• 通过对上一题图中的观察, 我们详细观察在 $0$ ~ ( $0 + dt$ ) 秒间车轮的动态, 也就是 $s(0 + dt) - s(0)$.
• 可以发现, 在 $0$ ~ ( $0 + dt$ )之间, 车轮发生的位移非常小. 以至于 $s(0 + dt) - s(0) = (0 + 0.001)^3 - 0^3 = 0.001 \approx 0$ 最终导致 $\frac{ds}{dt}(0) = \frac{s(0 + dt) - s(0)}{dt} \approx \frac{0}{dt} \approx 0$.
• 注意, 这里是近似为零, 由于这段时间行驶的距离非常小, 我们近似的将其作为零来处理.

写在最后

• 这个章节以小车的距离/时间曲线为例, 详细的讲解了对函数求解的思路与方法.
• 下一小节, 我们将会用图例的方式来对一些常用的求导公式进行讲解.